第五次翻转课堂草稿

思考题

（1） 系统函数 $H(s)$$H(s)$ 有何物理意义？

1. $H(s)=\mathcal{L}[h(t)]$$H(s) = \cal L\bqty{h(t)}$，即单位冲激响应的拉普拉斯变换，因此与系统的激励无关.

2. $Y_{\text{zs}}(s)=\mathcal{L}[y_{\text{zs}}(t)]=\mathcal{L}[f(t)\ast h(t)]=F(s)H(s)$$Y_\text{zs}(s) = \cal L\bqty{y_\text{zs}(t)} = \cal L\bqty{f(t) * h(t)} = F(s) H(s)$，可由此算出零状态响应.

3. $H(s)={\displaystyle \frac{Y_{\text{zs}}(s)}{F(s)}}$$H(s) = \dfrac{Y_\text{zs}(s)}{F(s)}$，即零状态响应象函数与激励象函数之比.

4. 若拉普拉斯变换的收敛边界位于左半平面，则 $H_L(s)=H_F(-\mathrm{j}s)$$H_L(s) = H_F(-\j s)$.

5. $h(t)\ast {\text{e}}^{st}={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}h(\tau ){\text{e}}^{s(t-\tau )}\mathrm{d}\tau ={\text{e}}^{st}{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}h(\tau ){\text{e}}^{-s\tau }\mathrm{d}\tau =H(s){\text{e}}^{st}}}$$h(t) * \e^{st} = \inti h(\tau) \e^{s(t-\tau)} \dd{\tau} = \e^{st} \inti h(\tau) \e^{-s\tau} \dd{\tau} = H(s) \e^{st}$.

6. 在第二点中，我们只不过是利用了拉普拉斯变换求解卷积，即

   $$f(t)\ast h(t)={\mathcal{L}}^{-1}\mathcal{L}[f(t)\ast h(t)]={\mathcal{L}}^{-1}[F(s)\ast H(s)],$$

   之所以要抽象出系统函数 $H(s)$$H(s)$ 的概念，是因为它唯一地确定了零状态 LTI 系统，

   并且有利于分析多个 LTI 系统在串联、并联或反馈联结之后的响应特性.

7. 具体而言，根据输入与输出是电压还是电流，对于单口网络，系统函数可分为策动点阻抗和策动点导纳；对于双口网络，系统函数可分为转移阻抗、转移导纳、电流比、电压比.

（2） 用什么方法求解系统函数 $H(s)$$H(s)$？

求解系统函数不是最终目的，这里着重解释如何求解系统响应：

1. 已知冲激响应

   1. 时域卷积：$y_{\text{zs}}(t)=f(t)\ast h(t)$$y_\text{zs}(t) = f(t) * h(t)$.

   2. 频域求解：$H(\omega )=\mathcal{F}[h(t)]$$H(\omega) = \cal F\bqty{h(t)}$，$y_{\text{zs}}(t)={\mathcal{F}}^{-1}[F(\omega )H(\omega )]$$y_\text{zs}(t) = \cal F\inv \bqty {F(\omega) H(\omega)}$.

   3. 复域求解：$H(s)=\mathcal{L}[h(t)]$$H(s) = \cal L\bqty{h(t)}$，$y_{\text{zs}}(t)={\mathcal{L}}^{-1}[F(s)H(s)]$$y_\text{zs}(t) = \cal L\inv \bqty{F(s) H(s)}$.

2. 已知微分方程

   1. 经典时域：特征方程法求通解，待定系数法求特解.

   2. 微分算子：先求 $H(p)$$H(p)$，再求 $h(t)$$h(t)$，最后求 $y_{\text{zs}}(t)$$y_\text{zs}(t)$.

   3. 傅氏变换：先求 $H(\omega )$$H(\omega)$，再求 $Y(\omega )$$Y(\omega)$，最后求 $y_{\text{zs}}(t)$$y_\text{zs}(t)$.

   4. 拉氏变换：先求 $H(s)$$H(s)$，再求 $Y_{\text{zs}}(s)$$Y_\text{zs}(s)$，最后求 $y_{\text{zs}}(t)$$y_\text{zs}(t)$.

3. 已知电路模型

   1. 时域求解：列出微分方程，化为上述问题；三要素法.

   2. 频域求解：（先求 $H(\omega )$$H(\omega)$，）再求 $Y(\omega )$$Y(\omega)$，最后求 $y(t)$$y(t)$.

   3. 复域求解：（先求 $H(s)$$H(s)$，）再求 $Y(s)$$Y(s)$，最后求 $y(t)$$y(t)$.

4. 已知系统框图

   1. 串联系统：$H(s)=H_1(s)H_2(s)$$H(s) = H_1(s) H_2(s)$.

   2. 并联系统：$H(s)=H_1(s)+H_2(s)$$H(s) = H_1(s) + H_2(s)$.

   3. 反馈联结：$H(s)={\displaystyle \frac{H_1(s)}{1-H_1(s)H_2(s)}}$$H(s) = \dfrac{H_1(s)}{1 - H_1(s) H_2(s)}$.

5. 已知零极点分布：$H(s)=K{\displaystyle \frac{\prod _j(s-z_j)}{\prod _i(s-p_i)}}$$H(s) = K \dfrac{\prod_j (s - z_j)}{\prod_i (s - p_i)}$.

备注

• 以上本质上只有一个问题：求解微分方程.

• 如果已知冲激响应，我们可以直接由卷积得到微分方程的解.

• 但是卷积常常难以求解，因此我们通过傅里叶变换或拉氏变换间接求解.

• 对于多个系统组成的微分方程组，可以抽象出系统函数与三种基本互联方式，从而简化求解过程.

（3） 如何求解串联、并联和反馈系统的 $H(s)$$H(s)$？

见思考题（2）.

（4） 系统在实轴上的极点（考虑一阶和二阶二种情况）的分布对 $f(t)$$f(t)$ 有何影响？

1. 一阶：${\displaystyle \frac{1}{s-p}}\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{\text{e}}^{pt}u(t)$$\dfrac{1}{s - p} \lt \e^{pt} u(t)$.

   1. 负实轴：衰减指数信号，稳定系统.

   2. 原点处：单位阶跃信号，临界稳定系统.

   3. 正实轴：增长正弦信号，不稳定系统.

2. 高阶：${\displaystyle \frac{1}{(s-p{)}^n}}\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{\displaystyle \frac{t^{n-1}{\text{e}}^{pt}}{(n-1)!}}u(t)$$\dfrac{1}{(s - p)^n} \lt \dfrac{t^{n-1} \e^{pt}}{(n-1)!} u(t)$.

   1. 负实轴：起伏衰减信号，极值点为 ${\displaystyle \frac{n-1}{-p}}$$\dfrac{n-1}{-p}$，稳定系统.

   2. 原点处：响应为幂函数，不稳定系统.

   3. 正实轴：不稳定系统.

（5） 系统共轭极点（考虑一阶和二阶二种情况）的分布对 $f(t)$$f(t)$ 有何影响？

1. 一阶：${\displaystyle \frac{{\omega }_0}{(s-p{)}^2+{\omega }_0^2}}\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{\text{e}}^{pt}\sin \left({\omega }_{0}t\right)u(t)$$\dfrac{\omega_0}{(s-p)^2 + \omega_0^2} \lt \e^{pt} \sin(\omega_0 t) u(t)$.

   1. 左半平面：衰减正弦振荡信号，稳定系统.

   2. 位于虚轴：等幅正弦振荡信号，临界稳定系统.

   3. 右半平面：增长正弦振荡信号，不稳定系统.

2. 高阶：${\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(n)}{2\mathrm{j}}}({\displaystyle \frac{1}{(s-p-\mathrm{j}{\omega }_0{)}^n}}-{\displaystyle \frac{1}{(s-p+\mathrm{j}{\omega }_0{)}^n}})\stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrow }{t}^{n-1}{\text{e}}^{pt}\sin \left({\omega }_{0}t\right)$$\dfrac{\Gamma(n)}{2\j} \pqty{ \dfrac{1}{(s - p - \j\omega_0)^n} - \dfrac{1}{(s - p + \j\omega_0)^n} } \lt t^{n-1} \e^{pt} \sin(\omega_0 t)$.

   1. 左半平面：稳定系统.

   2. 位于虚轴：不稳定系统.

   3. 右半平面：不稳定系统.

（6）如何通过系统函数H(s)的零极点分布判断系统的稳定性？

见思考题（5）.

练习题

2.1

2.2

注意 求解电感两端电压，包括附加电压源的部分.

2.3

由 $R(s)=[E(s)-R(s)H_2(s)]H_1(s)$$R(s) = \bqty{E(s) - R(s) H_2(s)} H_1(s)$，得到

并且微分方程为

2.4

2.5

于是解得 $a=-5,b=-6,c=6$$a = -5, b = -6, c = 6$.

2.6

1. 分布图

1
% MATLAB 代码
2
z_real = [0, 1, 1];
3
z_imag = [0, -1, 1];
4
p_real = [-1, -1, 0, 0];
5
p_imag = [0, 0, -2, 2];
6
plot(z_real, z_imag, 'o');
7
hold on;
8
plot(p_real, p_imag, 'rx', 'markersize', 12);
9
axis([-3, 3, -3, 3]);
10
grid on;
11
legend('零点', '极点')

2. 幅角图

xxxxxxxxxx
5
1
(* mathematica 代码 *)
2
ComplexPlot[
3
    (s (s - 1 + I) (s - 1 - I))/((s + 1)^2 (s + 2 I) (s - 2 I)),
4
    {s, -3 - 3 I, 3 + 3 I}
5
]